MA TRẬN TRỰC GIAO LÀ GÌ

     
Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một phát triển thành với nhì chỉ số ở mặt dưới. Ví dụ, a2,1 biểu diễn thành phần ở hàng sản phẩm hai và cột đầu tiên của ma trận A.Bạn đã xem: Ma trận trực giao

Bài Viết: Ma trận trực giao là gì

Trong toán học, ma trận là 1 trong mảng chữ nhật—những số, ký kết hiệu, hoặc biểu thức, sắp xếp theo hàng và cột—mà mỗi ma trận tuân thủ theo đúng các quy định định trước. Từng ô vào ma trận đc gọi là những bộ phận hoặc mục. Lấy ví dụ như một ma trận có 2 hàng & 3 cột.

. 1&9&-1320&5&-6end}.}




Bạn đang xem: Ma trận trực giao là gì

*

Khi các ma trận bao gồm cùng size (chúng gồm cùng số hàng and cùng số cột), thì có thể thi công phép cùng hoặc trừ hai ma trận trên những phần tử tương ứng của chúng. Mặc dù nhiên, quy định cần thực hiện được phép nhân ma trận chỉ hoàn toàn có thể thi công đc khi ma trận trước tiên có số cột bằng số hàng của ma trận sản phẩm hai. ứng dụng chính của ma trận đây là phép trình diễn những đổi khác tuyến tính, tức là sự bao quát hóa hàm tuyến tính như f(x) = 4x . Ví dụ, phép quay những vectơ trong không trung ba chiều là một trong phép biến đổi tuyến tính mà có thể biểu diễn bằng một ma trận quay R: nếu v là vectơ cột (ma trận chỉ cất một cột) mô tả nơi đặt của một điểm trong ko trung, tích của Rv là một trong vec tơ cột diễn tả nơi để của đặc điểm đó sau phép quay này. Tích của hai ma trận chuyển đổi là một ma trận màn biểu diễn hợp của hai phép đổi khác tuyến tính. Một phần mềm không giống của ma trận đó là tìm nghiệm của không ít hệ phương trình tuyến tính. Nếu là ma trận vuông, hoàn toàn có thể thu đc một số điểm lưu ý của nó bằng cách thức tính định thức của nó. Ví dụ, ma trận vuông là ma trận khả nghịch nếu và chỉ ví như định thức của nó khác không. Quan niệm hình học tập của một phép biến hóa tuyến tính là nhận đc (song tuy nhiên với các thông tin khác) từ trị riêng & vec tơ riêng của ma trận.

Có thể cảm nhận thấy phần mềm của lý thuyết ma trận trong phần lớn những ngành nghề khoa học. Trong những nhánh của thiết bị lý học, tất cả cơ học cổ xưa, quang đãng học, điện từ học, cơ học lượng tử, & điện động lực học tập lượng tử, chúng đc cần áp dụng để nghiên góp những hiện tượng kỳ lạ vật lý, như vận chuyển của đồ dùng rắn. Trong bối cảnh máy tính, ma trận được cần thực hiện để chiếu một hình ảnh 3 chiều lên màn hình hiển thị 2 chiều. Trong kim chỉ nan xác suất và đo đạc, hầu hết ma trận bất cứ đc cần áp dụng để mô tả tập hợp hồ hết xác suất; ví dụ, chúng sử dụng trong thuật toán PageRank để xếp máy hạng phần đa trang vào lệnh search của Google. Phép tính ma trận bao quát hóa mọi khái niệm vào giải tích như đạo hàm and hàm mũ so với số chiều to lớn hơn.

Một nhánh chủ yếu của giải tích số dành để trở nên tân tiến những thuật toán hữu ích cho những đo lường ma trận, một chủ đề đã hàng ngàn năm tuổi and là một trong ngành nghề nghiên góp rộng ngày nay. Phương pháp khai triển ma trận làm dễ chơi hóa những đo lường cả về mặt triết lý lẫn thực hành. Những thuật toán dựa vào các cấu tạo của những ma trận tính chất, như ma trận thưa (sparse) and ma trận ngay sát chéo, cứu giải quyết các tính toán trong cách thức phần tử hữu hạn và các đo lường và thống kê khác. Ma trận vô hạn xuất hiện trong cơ học tập thiên thể and lý thuyết nguyên tử. Một ví dụ đơn giản về ma trận vô hạn là ma trận màn trình diễn những toán tử đạo hàm, mà tính năng đến chuỗi Taylor của một hàm số.

1 Định nghĩa 1.1 Độ to 2 lịch sử dân tộc 3 cam kết hiệu 4 đều phép toán căn bản 4.1 Phép cộng, nhân một vài với ma trận, and ma trận chuyển vị 4.2 Nhân ma trận 4.3 Phép toán hàng 4.4 Ma trận bé 5 Phương trình tuyến tính 6 biến đổi tuyến tính 7 Ma trận vuông 7.1 Những một số loại ma trận đặc thù 7.1.1 Ma trận tam giác 7.1.2 Ma trận đơn vị chức năng 7.1.3 Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch 7.1.4 Ma trận khả nghịch và nghịch đảo của nó 7.1.5 Ma trận cam đoan 7.1.6 Ma trận trực giao 7.2 Những tính toán chủ yếu đuối 7.2.1 lốt 7.2.2 Định thức 7.2.3 Ma trận nghịch đảo 7.2.4 Vectơ riêng & trị riêng biệt 8 Khía cạnh đo lường và thống kê 9 phân tích ma trận 10 kỹ càng đại số trừu tượng và tổng quát hóa 10.1 Ma trận với những phần tử mở rộng 10.2 Mối tương tác với ánh xạ con đường tính 10.3 đội ma trận 10.4 Ma trận trống rỗng 11 phần mềm 11.1 lý thuyết đồ thị 11.2 Giải tích và hình học 11.3 định hướng xác suất và đo đạc 11.4 Đối xứng and những chuyển đổi trong vật dụng lý học 11.5 tổ hợp tuyến tính của không ít trạng thái lượng tử 11.6 dao động riêng 11.7 quang hình học 11.8 Điện tử học 12 Đọc thêm 13 Đọc thêm 13.1 Đọc thêm về đồ vật lý 13.2 Đọc thêm về lịch sử vẻ vang 14 links ngoài

Định nghĩa

Ma trận là 1 trong mảng chữ nhật chứa đông đảo số hoặc các đối tượng người sử dụng người chi tiêu và sử dụng toán học khác, mà có thể định nghĩa một vài phép toán như cộng hoặc nhân trên hầu như ma trận. Hay gặp nhất đấy là ma trận bên trên một trường F là 1 mảng chữ nhật chứa rất nhiều đại lượng vô vị trí hướng của F. Nội dung bài viết này đề cập tới những ma trận thực & phức, tức là những ma trận nhưng mà những thành phần của nó là những số thực hoặc số phức. Những loại ma trận bao quát hơn đc trao đổi ở dưới. Ví dụ, ma trận thực:

A = . =-1,3&0,620,4&5,59,7&-6,2end}.}


*

Những số, ký hiệu hay biểu thức vào ma trận được gọi là những bộ phận của nó. Phần nhiều đường theo phương ngang hoặc phương dọc đựng những thành phần trong ma trận đc gọi tương ứng là hàng and cột.

Độ to lớn

Độ lớn hay kích thước của ma trận được định nghĩa bằng số lượng hàng and cột nhưng ma trận có. Một ma trận m hàng & n cột được gọi là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong khi m & n được gọi là chiều của nó. Ví dụ, ma trận A sinh hoạt trên cao là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ cất một hàng gọi là vectơ hàng, and các ma trận chỉ chứa một cột gọi là vectơ cột. Ma trận tất cả cùng số hàng & số cột được gọi là ma trận vuông. Ma trận tất cả vô hạn số mặt hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) đc gọi là ma trận vô hạn. Trong một vài điều kiện, như chương trình đại số thứ tính, sẽ hữu dụng khi xét một ma trận mà không có hàng hoặc không tồn tại cột, goi là ma trận rỗng.

tên thường gọi Độ to Ví dụ mô tả Vectơ mặt hàng 1 × n 3&7&2end}}




Xem thêm: Chọn Phát Biểu Đúng Khi Nói Về Seo, Hướng Dẫn Seo Web: Lộ Trình Học Seo A

*

*

Ma trận đựng một cột, các khi được sử dụng để trình diễn một vectơ Ma trận vuông n × n 9&13&51&11&72&6&3end}}


*



Xem thêm: Epidermis Là Gì ? 5 Điều Bạn Nên Biết Khi Chăm Sóc Da Epidermis Là Gì

Ma trận bao gồm cùng số hàng và số cột, nó được cần áp dụng để trình diễn phép đổi khác tuyến tính từ một không trung vec tơ vào thiết yếu nó, như phép làm phản ứng, phép tảo hoặc ánh xạ cắt.

lịch sử vẻ vang

Ma trận đựng một lịch sử dài về ứng dụng trong giải hồ hết phương trình đường tính nhưng mà chúng đc biết mang đến là đều mảng tính đến tận các năm 1800. Cuốn sách Cửu chương toán thuật viết vào khoảng năm 152 TCN nêu ra phương trận nhằm giải hệ năm phương trình tuyến tính, kể cả khái niệm về định thức. Năm 1545 nhà toán học fan Ý Girolamo Cardano ra mắt phương thức giải này vào châu Âu lúc ông tuyên cha quyển Ars Magna. Bên toán học tập Nhật bản Seki đã nên sử dụng cách thức mảng này để giải hệ phương trình vào khoảng thời gian 1683. Nhà toán học tập Hà Lan Jan de Witt lần trước tiên màn trình diễn những biến đổi đổi bên dưới dạng ma trận mảng vào cuốn sách viết năm 1659 Elements of Curves (1659). Trong những năm 1700 and 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz tuyên bố phương pháp cần sử dụng những mảng để lưu lại thông tin hay tra cứu nghiệm và nghiên góp trên 50 các loại ma trận khác nhau. Cramer nêu ra luật pháp của ông vào thời điểm năm 1750.

Thuật ngữ trong tiếng Anh “matrix” (tiếng Latin là “womb”, dẫn xuất trường đoản cú mater—mẹ) vày James Joseph Sylvester vứt ra vào năm 1850, khi ông riêng biệt rằng ma trận là một đối tượng người dùng người tiêu dùng làm có mặt một số định thức mà ngày này gọi là phần phụ đại số, tức là định thức của các ma trận bé dại hơn thu được từ ma trận ban đầu bằng phương thức xóa đi hầu như hàng and những cột. Vào một bài báo năm 1851, Sylvester giải thích:

Tôi đã định nghĩa trong bài báo trước về “Ma trận” là một trong những mảng chữ nhật chứa phần lớn phần tử, mà các định thức khác nhau có thể nêu ra định thức của ma trận mẹ.

Arthur Cayley đăng một chăm luận về đầy đủ phép đổi khác hình học cần sử dụng ma trận ngoài những phép biến hóa quay đã được điều tra trước đó. Nạm vào đó, ông định nghĩa phần lớn phép toán như cộng, trừ, nhân and chia các ma trận này and chứng tỏ những điều khoản kết đúng theo and đồng tình vẫn được tán thành. Cayley vẫn nghiên giúp và dẫn chứng đặc điểm không trao đổi của phép nhân ma trận tương tự tính giao dịch của phép cùng ma trận. Triết lý ma trận nguyên sơ bị giới hạn ở cách thức cần áp dụng những mảng & tính định thức & những phép toán ma trận trừu tượng của Arthur Cayley sẽ trở đề nghị cuộc phương thức mạng cho triết lý này. Ông cần thực hiện khái niệm ma trận đến hệ phương trình con đường tính độc lập. Năm 1858 Cayley tuyên tía Nhật ký kết về kim chỉ nan ma trận trong đó ông bỏ ra and chứng tỏ định lý Cayley-Hamilton.

Nhà toán học tín đồ Anh Cullis là fan trước tiên cần thực hiện ký hiệu ngoặc văn minh cho ma trận vào năm 1913 and ông cũng viết ra ký hiệu quan trọng A = để màn trình diễn một ma trận cùng với ai,j là thành phần ở hàng trang bị i & cột trang bị j.

Công đoạn nghiên góp định thức khởi thủy từ một số trong những nguồn không giống nhau. Những bài toán số học dẫn Gauss đi đến liên hệ những thông số của dạng toàn phương, các đa thức có dạng x2 + xy − 2y2, & ánh xạ tuyến đường tính trong ko trung bố chiều cùng với ma trận. Eisenstein đã trở nên tân tiến xa hơn các khái niệm này, với reviews theo cách thức phát biểu lộ đại rằng tích ma trận là ko giao hoán. Cauchy là người trước tiên chứng minh các mệnh đề bao quát về định thức, khi ông cần sử dụng tư tưởng như sau về định thức của ma trận A = : thay thế sửa chữa lũy quá ajk bởi ajk trong nhiều thức

a 1 a 2 ⋯ a n ∏ i

Nhiều định lý ban sơ chỉ tuyên bố cho phần đông ma trận bé nhỏ dại, ví như định lý Cayley–Hamilton đc chứng tỏ cho ma trận 2×2 như Cayley đề ra trong luận án của tớ, and bởi Hamilton cho ma trận 4×4. Frobenius, dựa vào những dạng tuy vậy tuyến tính, đã tổng quát định lý thanh lịch mọi kích cỡ (1898). Cũng vào thời điểm cuối thế kỷ 19 phương thức khủ Gauss–Jordan (tổng quát hóa cho điều kiện tính chất đây là phép khử Gauss) vày nhà trắc địa Wilhelm Jordan quăng quật ra. Trong thời điểm đầu thế kỷ 20, ma trận đã đạt tới mức sứ mệnh trung trọng tâm trong đại số đường tính, 1 phần nhờ phần mềm của nó trong phân loại hệ thống số khôn cùng phức trong cố gắng kỷ trước.

Sự bước đầu của cơ học tập ma trận bởi những nhà đồ dùng lý Heisenberg, Born & Jordan bỏ ra đã dẫn tới nghiên góp về ma trận gồm vô hạn hàng and cột. Later, von Neumann đã tùy chỉnh cấu hình lên tuyên bố toán học tập của cơ học tập lượng tử, bằng cách thức cải cách và phát triển xa hơn hầu hết khái niệm của giải tích hàm như toán tử đường tính trong không trung Hilbert, mà, nói sơ lược, tương xứng với ko trung Euclide, nhưng có vô hạn hướng độc lập.

A = . =a_&a_&cdots &a_a_&a_&cdots &a_vdots &vdots &ddots &vdots a_&a_&cdots &a_end}.}

Một phương thức ký hiệu khác là cần sử dụng dấu ngoặc solo to nỗ lực cho lốt ngoặc vuông: