Công Thức 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ

     

Bạn mong giải được những bài toán tương quan đến giải phương trình, nhân chia những đa thức, thay đổi biểu thức tại cấp cho học thcs và thpt thì chúng ta cần nắm vững được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ như bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu của nhị bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng nhị lập phương với hiệu nhị lập phương. Để tham khảo thêm về các hằng đẳng thức này, bọn họ cùng khám phá qua bài viết dưới đây.

Bạn đang xem: Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ


Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

*

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng sẽ bởi bình phương của số trước tiên cộng hai lần tích của số đầu tiên và số thứ hai, tiếp đến cộng cùng với bình phương của số trang bị hai.

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Ví dụ:

a) Tính ( a + 2)2.

b) Viết biểu thức x2+ 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.

Lơi giải:

a) Ta có: ( a + 2)2= a2+ 2.a.2 + 22 = a2 + 4a + 4.

b) Ta có x2+ 4x + 4 = x2+ 2.x.2 + 22 = ( x + 2 )2.

2. Bình phương của một hiệu

Bình phương của một hiệu sẽ bằng bình phương của số đầu tiên trừ đi nhị lần tích của số trước tiên và số trang bị hai, tiếp đến cộng cùng với bình phương của số trang bị hai.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Ví dụ: Tính (3x -y)2

Ta có: (3x -y)2 = (3x)2 – 2.3x.y + y2 = 9x2 – 6xy + y2 

3. Hiệu của hai bình phương

Hiệu nhì bình phương nhị số bằng tổng hai số đó, nhân với hiệu nhị số đó.

a2 – b2 = (a-b)(a+b)

Ví dụ: Tính (x – 2)(x +2)

Ta có: (x – 2)(x +2) = x2 – 22 = x2 – 4

4. Lập phương của một tổng

Lập phương của một tổng nhị số bằng lập phương của số lắp thêm nhất, cộng với ba lần tích bình phương số trước tiên nhân số đồ vật hai, cộng với ba lần tích số trước tiên nhân với bình phương số trang bị hai, rồi cộng với lập phương của số thứ hai.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ví dụ: Tính: (2x2+3y)3

(2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3

5. Lập phương của một hiệu

Lập phương của một hiệu nhì số bởi lập phương của số máy nhất, trừ đi tía lần tích bình phương của số đầu tiên nhân cùng với số lắp thêm hai, cộng với tía lần tích số trước tiên nhân với bình phương số trang bị hai, tiếp nối trừ đi lập phương của số đồ vật hai.

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Ví dụ: Tính (x – 3)3

(x – 3)3 = x3 – 3.x2.3 + 3.x.32 – 33 = x3 – 9x2 + 27x – 27

6. Tổng nhì lập phương

 Tổng của nhì lập phương hai số bằng tổng của hai số đó, nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó.

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Ví dụ: Viết dưới dạng tích x3 + 64

x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)

7. Hiệu nhị lập phương

Hiệu của hai lập phương của nhì số bởi hiệu nhì số kia nhân cùng với bình phương thiếu của tổng của nhị số đó.

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Ví dụ:

a, Tính 53– 23.b) Viết biểu thức ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) bên dưới dạng hiệu nhì lập phương

Hướng dẫn:

a) Ta có: 53– 23= ( 5 – 2 )( 52 + 5.2 + 22 ) = 3.39 = 117.b) Ta tất cả : ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) = x3 – (2y)3 = x3 – 8y3.

Xem thêm: % Phép Chia Lấy Dư Trong C Hia Lấy Dư (Modulo), Chia Lấy Phần Dư Trong C

Hệ quả hằng đẳng thức

Ngoài ra, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trên thì bọn họ còn tất cả hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường áp dụng trong khi đổi khác lượng giác minh chứng đẳng thức, bất đẳng thức,…

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab(a – b)2 = (a + b)2 – 4aba2 + b2 = (a + b)2 – 2ab(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc(a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc(a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2ac – 2bc

Hệ trái với hằng đẳng thức bậc 3

a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)a3 – b3 = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a -b)(b – c)(c – a)(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a +b)(b +c)(c + a)

Hệ quả tổng quát

an + bn = (a + b)(an-1 – an-2b + an-3b2 – an-4b3 +…+ a2bn-3 – a.bn-2 + bn-1)an – bn =(a – b)(an-1 + an-2b + an-3b2 +…+ a2bn-3 + abn-2 + bn-1)

Một số hệ quả không giống của hằng đẳng thức

(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc

Các dạng bài tập 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ

Dạng 1: Tính giá trị của những biểu thức.

Tính quý giá của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1

Lời giải.

Ta bao gồm : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2 = (-3)2 = 9

⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

Dạng 2: chứng minh biểu thức A nhưng mà không phụ thuộc vào biến.

Ví dụ: chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

Lời giải.

Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào vào biến hóa x.

Dạng 3: Áp dụng nhằm tìm giá trị nhỏ tuổi nhất cùng giá trị lớn số 1 của biểu thức.

Ví dụ: Tính giá chỉ trị bé dại nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5

* Lời giải:

Ta gồm : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.

⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 xuất xắc A ≥ 4

Vậy giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của A = 4, vệt “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

⇒ kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

Dạng 4: minh chứng đẳng thức bởi nhau.

Ví dụ: Tính giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức: A = 4x – x2

Lời giải:

Ta gồm : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với tất cả x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với đa số x

⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4

⇔ A ≤ 4 vết “=” xẩy ra khi : x – 2 = 0 tốt x = 2

⇒ tóm lại GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

Dạng 5: chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ: chứng tỏ đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Lời giải:

Đối cùng với dạng toán này bọn chúng ta chuyển đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A

Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy :(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Dạng 6: Phân tích nhiều thức thành nhân tử.

Xem thêm: Soạn Văn Lớp 9 Bài Sang Thu, Soạn Bài Sang Thu Của Hữu Thỉnh

Ví dụ 1: Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2

Lời giải:

Ta gồm : A = x2 – 4x + 4 – y2 <để ý x2 – 4x + 4 bao gồm dạng hằng đẳng thức>

= (x2 – 4x + 4) – y2

= (x – 2)2 – y2

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x

= x(x2 – 4x + 4)

= x(x2 – 2.2x + 22)

= x(x – 2)2

Dạng 7: Tìm cực hiếm của x

Ví dụ:Tìm cực hiếm củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0

Lời giải.

x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

Hy vọng cùng với những kiến thức và kỹ năng về 7 hằng đẳng thức lưu niệm và các dạng bài bác tập thường chạm chán mà cửa hàng chúng tôi vừa share có thể giúp cho bạn áp dụng vào bài tập nhé